Mäh, die Tatsache, dass ich nicht eher ruhen konnte, bis diese Probleme gelöst, bestätigt mich darin, mich für das richtige Studienfach entschieden zu haben.
Habe alle Aufgaben bis auf die 5. lösen können, mit ein bisschen Überlegen sind die auch ganz harmlos. Besagte Ausnahme hats aber imo in sich, ich komme da mit normaler Kombinatorik nicht weit und alle Einzelfälle durchzugehen ist mir zu blöd. Würde mich sehr interessieren, wie da der Lösungsansatz zu wählen ist...
1.
Auf dem abgebildeten Zahlenstrahl sind die natürlichen Zahlen markiert. Von den mit den Buchstaben A bis F bezeichneten Zahlen sind mindestens zwei durch 3 und mindestens zwei durch 5 teilbar. Dann ist bzw. sind durch 15 teilbar:
Überlegungen:
a) Wir drücken alle Punkte durch eine Gleichung aus. Wir bezeichnen den Punkt A der Geraden als Startpunkt, als X. Verschiebt man den Startpunkt um 15 Einheiten (= 3*5; kleinstes gemeinsames Vielfaches), so landet man wieder bei der Ausgangssituation.
Es folgt:
A = 15*X
B = 15*X + 3
C = 15*X + 5
D = 15*X + 10
E = 15*X + 12
F = 15*X + 15
Wie sich erkennen lässt, sind nur A und F ein ganzzahliges Vielfaches von 15.
2.
Wie viele Ziffern der 1000-stelligen Zahl 20082008 . . . 2008 darf man höchstens löschen, wenn die Summe der Ziffern der verbleibenden Zahlen 2008 sein soll?
Diese Aufgabe ist wohl eine der leichtesten der 6.
Überlegungen:
a) Die Zahl hat 1000 Stellen, besteht also aus 250 mal der Ziffernfolge "2008"
b) Es gibt also 500 Nullen, die keinen Wert haben und somit gestrichen werden können.
c) Da gefragt ist, wie viele Ziffern man höchstens löschen kann, sollten wir versuchen, alle 2er (250 Stück) zu eliminieren
d) Übrig bleiben 250 * 8 = 2000. Da wir aber die Summe 2008 brauchen, haben wir vier Zweier zuviel gelöscht. Eliminiert haben wir also
500 * 0
246 * 2
0 * 8
Macht insgesamt
746 gestrichene Ziffern.
3.
Auf einer Geraden sind einige Punkte markiert, und dies so, dass sich zu jedem der Abstände 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm und 9 cm zwei von diesen Punkten finden lassen, die eben diesen Abstand voneinander haben. Wie viele Punkte sind das mindestens?
Überlegungen:
a) Wir setzen den ersten Punkt auf 0, den letzten auf 9
b) Beim Setzen der weiteren Punkte achten wir darauf, dass durch das Setzen von nur einem Punkt möglichst viele weitere Forderungen wegfallen:
Code:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X X X X X
Alle gesetzten Punkte erfüllen mindestens zwei geforderte Abstände. Den letzten Punkt müssen wir noch bei 7 oder 8 setzen, damit auch die Forderung "7cm" erfüllt wird.
Code:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X X X X X X
--> 6 Punkte mindestens
4.
Es ist n! = 1 * 2 * 3 * . . . * n. Wenn n! = 2^15 * 3^6 * 5^3 * 7² * 11 * 13 ist, dann ist n =
Klar liese sich diese Aufgabe mit stupidem Taschen- bzw. hartnäckigem Kopfrechnen lösen, wir wollen jedoch einen anderen Ansatz verfolgen.
Überlegungen:
a) Wir formulieren den Term so um, dass er die Form einer Fakultät hat.
Code:
n! = 2^15 * 3^6 * 5^3 * 7² * 11 * 13
= 13 * (2*2*3) * 11 * (2*5) * (3*3) * (2³) * 7 * (2*3) * 5 * (2*2)
* 3 * 2 * [b][[/b]2^5 * 3 * 5 * 7[b]][/b]
Der Term in der eckigen Klammer ergibt
14 * 15 * 16
Folglich ist n = 16
6.
Wie viele 2008-stellige Zahlen besitzen die Eigenschaft, dass jede aus zwei aufeinanderfolgenden Ziffern dieser Zahl gebildete zweistellige Zahl durch 17 oder 23 teilbar ist?
Überlegungen:
a) Die Länge der Kette ist unerheblich, da immer nur zwei aufeinanderfolgende Ziffern betrachtet werden.
b) Diese Zahlenpaare müssen
immer ein Vielfaches von 17 oder 23 sein:
17 34 51 68 85
23 46 69 82
c) die Zahlenpaare müssen sich "überschneiden", d.h. es ergibt sich eine Kette von Zahlen. Wenn wir die Vielfachen anschauen, erkennen wir, dass es nur eine einzige Möglichkeit gibt, einen Ring zu bilden, und zwar mit
23 - 34 - 46 - 68 - 82 - 23
Alle Zahlen, die das obige Postulat also erfüllen sollen, müssen aus der Aneinanderreihung der Zahlenfolge
23468(23468234682....)
bestehen.
d) Wir müssen noch berücksichtigen, dass es unerheblich ist, mit welcher Ziffer die Kette anfängt. 23468... ist genauso eine Möglichkeit wie 46823... . Da der Verlauf der Kette an die erste Ziffer gebunden ist und wir 5 mögliche Besetzungsmöglichkeiten für diese Ziffer haben, lautet die Lösung der Aufgabe, dass es genau 5 Zahlen gibt, die diese Forderung erfüllen.
ich hoffe 2 war nicht ernst gemeint ![:]](/styles/ctec/images/smilies/default/sm_B-].gif ":] :]")
(Du etwa?)
.gif ":) :)")
war richtig. Hab dann aber einen Fehler gefunden, der das Ergebnis zu 36 ändert. Jetzt habe ich den Baum nochmal sauber aufgezeichnet und einen weiteren Fehler entdeckt, der es nun auf 28 korrigiert.
